四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（）A.8πB.823πC.833πD.163π

Question

四面体ABCD的四个顶点都在球O的球面上，AB=2，BC=CD=1，∠BCD=60°，AB⊥平面BCD，则球O的表面积为（　　）

A. 8π

B.

(8√(2))/(3)π

C.

(8√(3))/(3)π

D.

(16)/(3)π

Answer 1

如图，∵BC=CD=1，∠BCD=60°，
∴底面△BCD为等边三角形，
取CD中点为E，连接BE，
∴△BCD的外心G在BE上，设为G，取BC中点F，连接GF，
在Rt△BCE中，由CE=(1)/(2)，∠CBE=30°，得BF=(1)/(2)BC=(1)/(2)，
又在Rt△BFG中，得BG=((1)/(2))/(cos30°)=(√(3))/(3)，
过G作AB的平行线与AB的中垂线HO交于O，
则O为四面体ABCD的外接球的球心，即R=OB，
∵AB⊥平面BCD，∴OG⊥BG，
在Rt△BGO中，求得OB=√(OG2+BG2)=√(12+((√(3))/(3))2)=(2√(3))/(3)，
∴球O的表面积为4π•((2√(3))/(3))2=(16π)/(3)．
故选：D．