设a＞0,b＞0,c＞0,a≠b,b≠c,c≠a,且a,b,c满足a＋b＞c,求证：a³＋b³＋c³＋3abc＞2（a＋b）c²

Question

设a＞0,b＞0,c＞0,a≠b,b≠c,c≠a,且a,b,c满足a＋b＞c,求证：
a³＋b³＋c³＋3abc＞2（a＋b）c²

Answer 1

两次放缩,就解决了：
左边
=(a+b)(a^2+b^2-ab)+c^3+3abc
>c(a^2+b^2-ab)+c^3+3abc
=c×[(a+b)^2+c^2]
≥c×2×(a+b)×c
=右边
以下参考:
证明：
原不等式等价于：
a³+b³+c³+3abc-2(a+b)c²>0
由于a³+b³=(a+b)³-3a²b-3ab²,所以化为
(a+b)³-(a+b)c²-(a+b)c²+c³+3abc-3a²b-3ab²>0
(a+b)[(a+b)²-c²]+c²(-a-b+c)+3ab(-a-b+c)>0
(a+b)(a+b+c)(a+b-c)+c²(-a-b+c)+3ab(-a-b+c)>0
提取公因式得
(a+b-c)[(a+b)(a+b+c)-c²-3ab]>0
(a+b-c)[a²+b²-c²+ac+bc-ab]>0
(a+b-c)[a²+b²-(a-c)(b-c)]>0 ----------------(1)
现在只需要证明
a²+b²-(a-c)(b-c)>0------------------------(2)
凑出因子(a-c),(b-c),即另a=a-c+c;b=b-c+c;
得(a-c+c)²+(b-c+c)²-(a-c)(b-c)>0;
(a-c)²+(b-c)²-(a-c)(b-c)+2c(a+b-c)>0;
因为
(a-c)²+(b-c)²-(a-c)(b-c)>0
2c(a+b-c)>0(c>0)
所以a²+b²-(a-c)(b-c)>0---------------(2)成立
又因为(a+b-c)>0;
所以(a+b-c)[a²+b²-(a-c)(b-c)]>0-------------------(1)成立
所以原不等式得证