欲造一个容积为300m^3的圆柱形无盖蓄水池,已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍,要使水池造价最低,问其底半径与高应是多少?

Question

欲造一个容积为300m^3的圆柱形无盖蓄水池,已知池底的单位面积造价是周围的单位面积造价的两倍,要使水池造价最低,问其底半径与高应是多少?

Answer 1

根据你提供的方法,是不是如下：
设底面半径为r,高为h
则体积：兀r^2*h=300
h=300/(兀r^2)
底面积为：兀r^2,侧面积为：2兀r*h=2兀r*300/(兀r^2)=600/r
设侧面单位面积为造价为a,则底面单位面积造价为2a
则总造价：
S=2a*兀r^2+a*600/r=a(2兀r^2+600/r)
要使S最底,则
S'=a(2兀*2r-600/r^2)=0
所以2兀*2r=600/r^2
r^3=150/兀
r=(150/兀)^(1/3)
h=600/r
=600/(150/兀)^(1/3)
=600*(150/兀)^(2/3)/150/兀
=4兀*(150/兀)^(2/3)