2．（狼与羊问题）在一个封闭的大草原里生长着狼和羊,设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t),已知满足以下微分方程组dy/dt＝0.001xy－0.9y（1）dx/dt＝4x－0.02xy（2）建立上述微分方程的轨线方程

Question

2．（狼与羊问题）在一个封闭的大草原里生长着狼和羊,设t时刻它们的数量分别为y(t)和x(t),已知满足以下微分方程组
dy/dt＝0.001xy－0.9y （1）
dx/dt＝4x－0.02xy （2）
建立上述微分方程的轨线方程；
在什么情况下狼和羊数量出现平衡状态?
建立另一个微分方程来分析人们对羊进行捕猎会产生什么后果?对狼进行捕猎又会产生什么后果?

Answer 1

(1)/(2)得：
dy/dx=(0.001xy-0.9y)/(4x-0.02xy)
y(0.001x-0.9)dx=x(4-0.02y)dy
((0.001x-0.9)/x)dx=((4-0.02y)/y)dy
(0.001-(0.9/x))dx=((4/y)-0.02)dy
0.001x-0.9*lnx=4*lny-0.02y+C1 (C1为常量）
0.9*lnx+4*lny=0.001x+0.02y-C1
x^0.9*y^4=C*e^(0.001x+0.02y) (C为常量）
y^4/e^0.02y=C*e^0.001x/x^0.9
此即轨线方程
平衡状态时,dy/dt=0,dx/dt=0
即：0.001xy-0.9y=0 -----(3)
4x-0.02xy=0 -----(4)
由（3）,（4）,可以解出平衡状态时,x=900,y=200