∫∫Ln（1+x的平方+y的平方）dr,其中D是由圆周x平方+y平方=1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区间.

Question

∫∫Ln（1+x的平方+y的平方）dr,其中D是由圆周x平方+y平方=1及坐标轴所围成的在第一象限的闭区间.

Answer 1

转换到极坐标系 x²+y²=r²,dxdy=rdrdθ,D:0≤r≤1,0≤θ≤π/2
∫∫(D) ln(1+x²+y²) dxdy
=∫∫(D) rln(1+r²)drdθ
=∫(0→π/2)dθ ∫(0→1)rln(1+r²)dr
=(π/2)*(1/2)∫(0→1)ln(1+r²)d(1+r²)
=(π/4)*[(1+r²)ln(1+r²)-∫(0→1) 2r(1+r²)/(1+r²)dr]
=(π/4)*[(1+r²)ln(1+r²)-r²]|(0→1)
=π(2ln2-1)/4