设X,Y是拓扑空间,p1：X＊Y->X是投影映射.若Y是紧的,证明p1是闭映射

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设X,Y是拓扑空间,p1：X＊Y -> X是投影映射.若Y是紧的,证明p1是闭映射

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答案和解析

设A是X×Y的闭子集,要证p1(A)是闭集,即证(p1(A))^c是开集（^c表示补集）.任意x∈(p1(A))^c,则{x}×Y=p1^(-1)(x)包含于A（^(-1)表示逆映射）,则存在x的开邻域U,使得U×A包含于A^c,即U包含于(p1(A))^c,因此x是(p1(A))^c的内点,即(p1(A))^c是开集.

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