锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：1AD+1BE+1CF＝2R．

Question

锐角三角形△ABC的外心为O，外接圆半径为R，延长AO，BO，CO，分别与对边BC，CA，AB交于D，E，F；证明：(1)/(AD)+(1)/(BE)+(1)/(CF)＝(2)/(R)．

Answer 1

证明：延长AD交⊙O于M，由于AD，BE，CF共点O，
(OD)/(AD)＝(S△OBC)/(S△ABC)，(OE)/(BE)＝(S△OAC)/(S△BAC)，(OF)/(CF)＝(S△OAB)/(S△CAB)，…5’
则(OD)/(AD)+(OE)/(BE)+(OF)/(CF)＝1…①…10’
而(OD)/(AD)＝(R−DM)/(2R−DM)＝1−(R)/(2R−DM)＝1−(R)/(AD)，…15’
同理有，(OE)/(BE)＝1−(R)/(BE)， (OF)/(CF)＝1−(R)/(CF)，…20’
代入①得，(1−(R)/(AD))+(1−(R)/(BE))+(1−(R)/(CF))＝1…②
所以 (1)/(AD)+(1)/(BE)+(1)/(CF)＝(2)/(R)．                                     …25’