过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,求证角AOB=90度.过程详细!十万火急

Question

过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A,B两点,求证角AOB=90度.
过程详细!
十万火急

Answer 1

证明
设抛物线方程为y²=2px(p>0)
直线方程为y=k(x+p/2)
将直线方程代入抛物线方程得
k²(x+p/2)²=2px
交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由抛物线的几何定义可得
|AF|＝x1+p/2
|FB|=x2+p/2
|AB|=x1+x2+p
|AO|²=x1²+y1² |BO|²=x2²+y2²
|AO|²+|BO|²=x1²+y1²+x2²+y2²
因为A、B均在抛物线上,有y1²=2px1 y2²=2px2 代入上式得
|AO|²+|BO|²＝x1²+2px1+x2²+2px2
|AB|²=(x1+x2+p)²=x1²+x2²+p²+2px1+2px2+2x1x2
显然|AB|²>|AO|²+|BO|²