如图所示，小球以某一速度从竖直放置的半径为R的光滑圆形轨道底端A点冲入．（1）若小球恰能从B点脱离轨道（OB与水平方向成37°），则V0为多少？（2）若小球始终不离开轨道，求V0的取值

Question

如图所示，小球以某一速度从竖直放置的半径为R的光滑圆形轨道底端A点冲入．
（1）若小球恰能从B点脱离轨道（OB与水平方向成37°），则V₀为多少？
（2）若小球始终不离开轨道，求V₀的取值范围？
（3）若V₀=√(4gR)，求小球第一次相对A点能上升的最大高度？

Answer 1

（1）从A到B的过程中，根据动能定理得：
-mgR（1+sin37°）=(1)/(2)mvB2−(1)/(2)mv02，
根据向心力公式得：
mgsin37°＝m(vB2)/(R)
解得：v0＝√(3.8gR)　
（2）设小球恰能通过圆周最高点的速度为v₁，
根据动能定理得：
−mg2R＝(1)/(2)mv12−(1)/(2)mv02
根据向心力公式得：
mg＝m(v12)/(R)
解得：v0＝√(5gR)
若小球恰能沿原轨迹返回
−mgR＝−(1)/(2)mv02，解得：v0＝√(2gR)
则若小球始终不离开轨道的v₀的取值范围是v0≤√(2gR)或v0≥√(5gR)，
（3）根据动能定理得：
-mgR（1+sinθ）=(1)/(2)mv22−(1)/(2)mv02，
根据向心力公式得：
mgsinθ=m(v22)/(R)
解得：sinθ＝(2)/(3)，v2＝√((2gR)/(3))
则H=R（1+sinθ）+((v2cosθ)2)/(2g)＝(50)/(27)R
答：（1）若小球恰能从B点脱离轨道（OB与水平方向成37°），则V₀为√(3.8gR)；
（2）若小球始终不离开轨道，V₀的取值范围为v0≤√(2gR)或v0≥√(5gR)；
（3）若V₀=√(4gR)，小球第一次相对A点能上升的最大高度为(50)/(27)R．