请问如何解三次方程

Question

请问如何解三次方程

Answer 1

你说的是一元三次方程吧：
一元三次标准方程 ：ax^3+bx^2+cx+d=0
两边除以a得 ：x^3+b/ax^2+c/ax+d/a=0
变成：x^3+b1x^2+c1x+d1=0形式.
设x=y+a展开,令二次项系数3a+b1=0,a=-b1/3,二次项消了,
可变成 ：x^3+px+q=0形式.
再设x=y+z展开上型式一元三次方程得
(y+z)^3+p(y+z)+q=0,再令(y+z)系数：3yz+p=0 ,则y^3+z^3=-q
把3yz+p=0变为：(yz)^3=-p^3/27 ,
所以由韦达定理得：y^3、z^3是一元二次方程m^2 +qm-p^3/27=0的两根
解这一元二次方程,两根为：(△≥时有两实根,△＜0时有虚根）
y^3=A=-p/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
z^3=B=-p/2-(q ^2/4+p^3/27)^(1/2)
因为y^3=A 就是：y^3-[A^(1/3)]^3=0
所以[y-A^(1/3]*[y^2+A^(1/3)+A^(2/3)]=0
y1=A^(1/3) 、y2=A^(1/3)*ω 、y3=A^(1/3)*ω^2
同理：z1=B^(1/3) 、z2=B^(1/3)*ω^2 、z3=B^(1/3)*ω (其中：ω^2+ω+1=0)
所以原方程的根为：
x1=A^(1/3) + B^(1/3)
x2=A^(1/3)*ω + B^(1/3)*ω^2,
说明：A^(1/3)意即A的三分之一次方