求过(3,-2,9)(-6,0,-4)且垂直于2x-y-4z-8=0的平面方程

Question

求过(3,-2,9)(-6,0,-4)且垂直于2x-y-4z-8=0的平面方程

Answer 1

求过P(3,-2,9)；Q(-6,0,-4)；且垂直于2x-y-4z-8=0的平面方程
设过P(3,-2,9)得平面方程为:
A(x-3)+B(y+2)+C(z-9)=0.(1)
点Q(-6,0,-4)在此平面上,因此其坐标满足方程(1)：
-9A+2B-13C=0.（2）
所求平面垂直于平面2x-y-4z-8=0,因此它们的法向矢量互相垂直,故其法向矢量的点积等于0,
即有等式：
2A-B-4C=0.（3）
(1)(2)(3)是关于A,B,C的齐次方程组,该方程组有非零解的充要条件是下列三阶行列式的
值为0,即：
∣x-3 y+2 z-9∣
∣-9 2 -13∣=(x-3)(-8-13)-(y+2)(36+26)+(z-9)(9-4)=-21x-62y+5z-106=0
∣2 -1 -4 ∣
即21x+62y-5z+106=0为所求平面的方程.