如图所示，光滑的AB杆上套一轻质弹簧，弹簧一端与杆下端连接于固定的转轴，另一端与套在杆上质量为m的小球连接．已知AB杆足够长，弹簧的原长为l0，劲度系数为k，OO'为过B点的竖直

Question

如图所示，光滑的AB杆上套一轻质弹簧，弹簧一端与杆下端连接于固定的转轴，另一端与套在杆上质量为m的小球连接．已知AB杆足够长，弹簧的原长为l₀，劲度系数为k，OO'为过B点的竖直线，
杆与水平面间的夹角始终为θ．已知弹簧的弹性势能公式为E_p=(1)/(2)kx²其中k为劲度系数，x为弹簧的形变量．

（1）若杆保持静止状态，让小球从弹簧的原长位置由静止释放，求小球速度最大时弹簧的弹性势能；
（2）当球随杆一起绕OO'匀速转动时，转动角速度不同弹簧的长度就会不同，已知球随杆一起以足够大的角速度ϖ转动，且在稳定的情形下弹簧处于伸长状态，小球在水平面内做匀速圆周运动．求此时弹簧伸长量．

Answer 1

（1）当小球速度最大时，有：：k△l₁=mgsinθ
解得弹簧的压缩量为：△l₁=(mgsinθ)/(k)
故小球速度最大时弹簧的弹性势能 E_p=(1)/(2)k△l₁²=(m2g2sin2θ)/(2k)
（2）设弹簧伸长量为△l₂，在水平方向上有：
水平方向上有  F_Nsinθ+k△l₂cosθ=mω²（l₀+△l₂）
竖直方向上有  F_Ncosθ=k△l₂sinθ+mg
解得：△l₂=(ml0ω2cos2θ-mgsinθ)/(k-mω2cos2θ)
答：
（1）小球速度最大时弹簧的弹性势能为(m2g2sin2θ)/(2k)．
（2）此时弹簧伸长量为(ml0ω2cos2θ-mgsinθ)/(k-mω2cos2θ)．