丢一颗骰子直到所有的点数全部出现为止,试求所需投掷次数的数学期望.

Question

丢一颗骰子直到所有的点数全部出现为止,试求所需投掷次数的数学期望.

Answer 1

这个问题是一个十分著名的数学问题,叫作Coupon Collector Problem,解法也十分经典,
这里设i代表已经出现点数种类的个数,Pi代表到目前为止已经出现i种点数这个事件所需要掷骰子的次数,
Pi+1 - Pi = 摇出一个之前没出现的点数所需要掷骰子的次数,这个概率=(6-i)/6,
所以E(Pi+1 - Pi )=概率的倒数=6/(6-i),这个题目要求E(P6);
E(P6)=E(P6-P5)+E(P5-P4)+E(P4-P3)+E(P3-P2)+E(P2-P1) = 6(1+1/2+1/3+1/4+1/5);
如果这里不是6种点数而是n种,那么结果是ln n+r,r是欧拉常数