设x,y均为正整数,试证x^2+y+1和y^2+4x+3不可能都为完全平方数

Question

设x,y均为正整数,试证x^2+y+1和y^2+4x+3不可能都为完全平方数

Answer 1

设：x²＋y＋1=M²,y²＋4x＋3=N²
则：
M²－N²=x²－y²＋y－4x－2=x²－4x－(y²－y＋2)
因M²－N²可分解成(M－N)(M＋N),则：
Q=x²－4x－(y²－y＋2)也可以因式分解,则这个关于x的二次式的判别式应该是完全平方,而：
△=4²＋4(y²－y＋2)=4y²－4y＋24=(2y－1)²＋23,这个不是完全平方,从而得到：
Q不能因式分解,即：M²－N²不能因式分解.
矛盾,从而假设错误.
所以x²＋y＋1和y²＋4x＋3不可能都是完全平方数.