证明方程3x-1-∫(0→x)1/1+t^4dt=0在区间(0,1)上有唯一的实根

Question

证明方程3x-1-∫(0→x)1/1+t^4dt=0在区间(0,1)上有唯一的实根

Answer 1

设f(x)=3x-1-∫(0→x)1/1+t^4dt,由于f(x)可导,显然连续
f(0)=-1,
f(1)=3-1-∫ [0→1] 1/(1+t⁴) dt
由积分中值定理
=2-1/(1+ξ⁴)
>0
因此：f(x)在(0,1)内必有根.
f '(x)=3-1/(1+x⁴)>0
因此f(x)在(0,1)内单调,
综上,f(x)在(0,1)内有唯一实根.