设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，BT为B的转置矩阵，试证BTAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B）=n．

Question

设A为m阶实对称矩阵且正定，B为m×n实矩阵，B^T为B的转置矩阵，试证B^TAB为正定矩阵的充分必要条件是B的秩r（B）=n．

Answer 1

必要性（⇒）
设B^TAB为正定矩阵，则对于任意的实n维列向量x≠0，
都有：x^TB^TABx＞0，
即（Bx）^TA（Bx）＞0．
所以：Bx≠0．
因此，Bx=0只有零解，故有r（B）=n．
充分性（⇐）
如果r（B）=n，
则线性方程组Bx=0只有零解，
从而对于任意的实n维列向量x≠0，都有：Bx≠0．
又因为A为正定矩阵，故有：（Bx）^TA（Bx）＞0，
即：x^TB^TABx＞0．
所以B^TAB为正定矩阵．