已知x2=4y,过y=x-2的一点P,做抛物线的两条切线,切于A,B两点,泽抛物线上是否存在G是三角形PAB重心

Question

已知x2=4y,过y=x-2的一点P,做抛物线的两条切线,切于A,B两点,泽抛物线上是否存在G是三角形PAB重心

Answer 1

不存在这样的点.证明如下：
令P为(x0,x0-2),抛物线上一切点为(t,t^2/4),则切线方程为y-t^2/4=t/2(x-t),此切线过P点,
故x0-2-t^2/4=t/2(x0-t),化简得：t^2-2xot+4x0-8=0,t1+t2=2x0,t1t2=4x0-8
x0+x1+x2=x0+t1+t2=3x0,
y0+y1+y2=x0-2+t1^2/4+t2^2/4=x0-2+0.25[(t1+t2)^2-2t1t2]=x0-2+0.25[4x0^2-8x0+16]=x0^2-x0+2,
即重心G坐标为(x0,(x0^2-x0+2)/3),显然不满足抛物线方程.
故不存在这样的重心在抛物线上.