二次同余方程中的高斯互反定律确定以-3为二次剩余的所有素数.老师没讲啊.

Question

二次同余方程中的高斯互反定律
确定以-3为二次剩余的所有素数.
老师没讲啊.

Answer 1

首先,用勒让德符号二次互反定律可以表达为：(p/q)(q/p)=(-1)^((p-1)(q-1)/4).
我们来解你的问题,也就是求所有的素数p,使得(-3/p)=1.(-3/p)=(-1/p)(3/p),其中(-1/p)=(-1)^((p-1)/2),由二次互反定律可知,(3/p)=(p/3)*(-1)^((p-1)/2),所以(-3/p)=(p/3),当p=1(mod 3)时,(p/3)=(1/3)=1；当p=2(mod 3)时,(p/3)=(2/3)=-1,所以应该是所有素数满足p=1(mod 3)的条件,比如：7, 13, 19, 31等等.如果你不懂勒让德符号和二次互反定律可以看看初等数论的书.