如图，ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，从E作EH⊥AC交AC于H．（1）判断四边形ACED是什么图形，并加以证明；（2）若AB=8，AD=6，求DE的长；（3）四边形ACED中，比较AE+EC与AC

Question

如图，ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在E处，连接DE，从E作EH⊥AC交AC于H．
（1）判断四边形ACED是什么图形，并加以证明；
（2）若AB=8，AD=6，求DE的长；
（3）四边形ACED中，比较AE+EC与AC+EH的大小并说明理由．

Answer 1

（1）四边形ACED是等腰梯形．                        
理由：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，CD∥AB，AD∥BC，∠B=∠DAB=90°．
∴∠ACD=∠CAB．∠DAC=∠BCA，
∵△ACE与△ACB关于AC对称，
∴△ACE≌△ACB，
∴AE=AB=CD，CE=CB=AD，∠EAC=∠BAC，∠ACE=∠ACB，∠AEC=∠B=90°，
∴∠ACD=∠EAC．∠ACE=∠DAC，
∴∠ACE-∠ACD=∠DAC-∠EAC，
∴∠ECD=∠DAE．
在△ECD和△DAE中，

CD＝AE

∠ECD＝∠DAE

CE＝AD

，
∴△ECD≌△DAE，
∴∠CDE=∠AED．
∵∠CDE+∠ADE=∠EAC+∠DCA，
∴2∠CDE=2∠ACD，
∴∠CDE=∠ACD，
∴DE∥AC，
∵AD=CE，
∴四边形ACED是等腰梯形．                    
（2）作DQ⊥AC于Q，DQ=
∴∠DQH=∠DQA=90°．
∵EH⊥AC，
∴∠EHC=∠EHA=90°．
∵DE∥AC，
∴∠EDQ=∠AQD=90°，
∴∠EDQ=∠DQH=∠EHQ=90°，
∴四边形DQHE是矩形．
∴DE=QH，DQ=EH．
在Rt△AQD和Rt△CHE中，

AD＝CE

DQ＝EH

，
∴Rt△AQD≌Rt△CHE（HL）．
∴AQ=CH．
∵AB=8，AD=6，
∴由勾股定理，得
AC=10．
∴(10EH)/(2)＝(6×8)/(2)，
∴EH=4.8．
在Rt△CEH中，由勾股定理，得
∴CH=3.6
∴DE=10-3.6-3.6=2.8．
（3）∵

∠AEC＝∠AHE

∠EAC＝∠EAC

∴△AEC∽△AHE，
∴(AC)/(AE)＝(EC)/(EH)，
∴AE•EC=AC•EH