已知二次函数y=x2-2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公

Question

已知二次函数y=x²-2mx+m²+3（m是常数）．
（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；
（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？
（3）将抛物线y=x²-2mx+m²+3（m是常数）图象在对称轴左侧部分沿直线y=3翻折得到新图象为G，若与直线y=x+2有三个交点，请直接写出m的取值范围．

Answer 1

（1）证明：∵△=（-2m）²-4×1×（m²+3）=4m²-4m²-12=-12<0，
∴方程x²-2mx+m²+3=0没有实数解，
即不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；

（2） y=x²-2mx+m²+3=（x-m）²+3，
把函数y=（x-m）²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到函数y=（x-m）²的图象，它的顶点坐标是（m，0），
因此，这个函数的图象与x轴只有一个公共点，
所以，把函数y=x²-2mx+m²+3的图象沿y轴向下平移3个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点．

（3）翻折后所得图象的解析式y=-（x-m）²+3，
①当直线y=x+2与抛物线y=x²-2mx+m²+3有一个交点时，则

y=x+2

y=x2-2mx+m2+3

，
整理得，x²-（2m+1）x+m²+1=0
∴△=（2m+1）²-4（m²+1）=0，即m=(3)/(4)．
②当直线y=x+2与抛物线y=-（x-m）²+3有一个交点时，则

y=x+2

y=-(x-m)2+3

，
整理得，x²-（2m-1）x+m²-1=0，
∴△=（2m-1）²-4（m²-1）=0，即m=(5)/(4)．
∴当(3)/(4)<m<(5)/(4)时，新图象为G，与直线y=x+2有三个交点．