将自然数从1开始，顺次排成如图所示的螺旋形，其中2，3，5，7，…处为拐点，请问：（1）第30个拐点处的数是多少？（2）前30个拐点处的各数之和是多少？

Question

将自然数从1开始，顺次排成如图所示的螺旋形，其中2，3，5，7，…处为拐点，请问：
（1）第30个拐点处的数是多少？
（2）前30个拐点处的各数之和是多少？

Answer 1

根据分析，可得
当n为奇数时，第n个拐点处的数是：1+（1+3+5+…+n）；
当n为偶数时，第n个拐点处的数是：1+2×（1+2+3+…+(n)/(2)）；
（1）第30个拐点处的数是：
1+2×（1+2+3+…+15）
=1+2×120
=241；
答：第30个拐点处的数是241．

（2）根据n为奇数、偶数时，第n个拐点处的数的表达式，可得
第1个、第2个拐点处的数的和是：1+1+（1+2）=5，
第3、4个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4）=12，
第5、6个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4+5+6）=23，
第7、8个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4+5+6+7+8）=38，
…，
第29、30个拐点处的各数之和是：1+1+（1+2+3+4+…+29+30）=467，
因为12-5=7，23-12=11=7+4，38-23=15=11+4，…，
所以每个和与它前面的和的差分别是7、11、15、…，
它是一个首项是7，公差是4的等差数列，
因此前30个拐点处的各数之和是：
5+12+23+38+57+80+107+138+173+212+255+302+353+408+467=2630．
答：前30个拐点处的各数之和是2630．