已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是（）A．6πB．12πC．18πD．24π

Question

已知一个正三棱锥的三条侧棱两两垂直且相等，底面边长为2，则该三棱锥的外接球的表面积是（　　）

A．6π
B．12π
C．18π
D．24π

Answer 1

∵正三棱锥三条侧棱两两互相垂直，底面边长为2，侧棱长为√(2)．
∴构造边长为√(2)的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为√((√(2))2+(√(2))2+(√(2))2)=√(6)，
即正三棱锥外接球的半径r=(√(6))/(2)，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr²=4×(6)/(4)π=6π．
故选：A． √(2)

2

22．
∴构造边长为√(2)的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为√((√(2))2+(√(2))2+(√(2))2)=√(6)，
即正三棱锥外接球的半径r=(√(6))/(2)，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr²=4×(6)/(4)π=6π．
故选：A． √(2)

2

22的正方体，
则正方体的体对角线为外接球的直径，
设球半径为r，
则正方体的体对角线长为√((√(2))2+(√(2))2+(√(2))2)=√(6)，
即正三棱锥外接球的半径r=(√(6))/(2)，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr²=4×(6)/(4)π=6π．
故选：A． √((√(2))2+(√(2))2+(√(2))2)

(√(2))2+(√(2))2+(√(2))2

(√(2))2+(√(2))2+(√(2))2(√(2)

2

22)2+(√(2))2+(√(2))22+(√(2)

2

22)2+(√(2))22+(√(2)

2

22)22=√(6)，
即正三棱锥外接球的半径r=(√(6))/(2)，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr²=4×(6)/(4)π=6π．
故选：A． √(6)

6

66，
即正三棱锥外接球的半径r=(√(6))/(2)，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr²=4×(6)/(4)π=6π．
故选：A． (√(6))/(2)√(6)√(6)√(6)

6

66222，
∴正三棱锥外接球的表面积为4πr²2=4×(6)/(4)π=6π．
故选：A． (6)/(4)666444π=6π．
故选：A．