（2006•太原）在学习扇形的面积公式时，同学们推得S扇形=nπR2360，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l=nπR180，得出扇形面积的另一种计算方法S扇形=12lR．接着老师让同学们解决两个问题

Question

（2006•太原）在学习扇形的面积公式时，同学们推得S_扇形=(nπR2)/(360)，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l=(nπR)/(180)，得出扇形面积的另一种计算方法S_扇形=(1)/(2)lR．接着老师让同学们解决两个问题：
问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l₁，弧CD的长为l₂，AC=BD=d，求花坛的面积．
（1）请你解答问题Ⅰ；
（2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S_扇形=(1)/(2)lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=(1)/(2)（l₁+l₂）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．_扇形(nπR2)/(360)，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l=(nπR)/(180)，得出扇形面积的另一种计算方法S_扇形=(1)/(2)lR．接着老师让同学们解决两个问题：
问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l₁，弧CD的长为l₂，AC=BD=d，求花坛的面积．
（1）请你解答问题Ⅰ；
（2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S_扇形=(1)/(2)lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=(1)/(2)（l₁+l₂）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．(nπR2)/(360)nπR2nπR2R2R22360360(nπR)/(180)，得出扇形面积的另一种计算方法S_扇形=(1)/(2)lR．接着老师让同学们解决两个问题：
问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l₁，弧CD的长为l₂，AC=BD=d，求花坛的面积．
（1）请你解答问题Ⅰ；
（2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S_扇形=(1)/(2)lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=(1)/(2)（l₁+l₂）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．(nπR)/(180)nπRnπR180180_扇形(1)/(2)lR．接着老师让同学们解决两个问题：
问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l₁，弧CD的长为l₂，AC=BD=d，求花坛的面积．
（1）请你解答问题Ⅰ；
（2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S_扇形=(1)/(2)lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=(1)/(2)（l₁+l₂）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．(1)/(2)1122

<sub>12

扇形</sub>(1)/(2)lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=(1)/(2)（l₁+l₂）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．(1)/(2)1122(1)/(2)（l₁+l₂）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．(1)/(2)1122₁₂

Answer 1

（1）弧长公式l=(nπR)/(180)，弧长为4π，圆心角为120°，则可得R=6，
S_扇形=(1)/(2)lR=12π．

（2）设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=(nπR)/(180)，得R＝(180l1)/(nπ)，r＝(180l2)/(nπ)，
所以图中扇形面积为：
(1)/(2)×l1×R−(1)/(2)×l2×r＝(1)/(2)l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

(l

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−

l

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)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (nπR)/(180)nπRnπRnπR180180180，弧长为4π，圆心角为120°，则可得R=6，
S_扇形扇形=(1)/(2)lR=12π．

（2）设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=(nπR)/(180)，得R＝(180l1)/(nπ)，r＝(180l2)/(nπ)，
所以图中扇形面积为：
(1)/(2)×l1×R−(1)/(2)×l2×r＝(1)/(2)l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

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−

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)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (1)/(2)111222lR=12π．

（2）设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=(nπR)/(180)，得R＝(180l1)/(nπ)，r＝(180l2)/(nπ)，
所以图中扇形面积为：
(1)/(2)×l1×R−(1)/(2)×l2×r＝(1)/(2)l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

(l

2 1

−

l

2 2

)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (nπR)/(180)nπRnπRnπR180180180，得R＝(180l1)/(nπ)，r＝(180l2)/(nπ)，
所以图中扇形面积为：
(1)/(2)×l1×R−(1)/(2)×l2×r＝(1)/(2)l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

(l

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)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． R＝(180l1)/(nπ)180l1180l1180l11nπnπnπ，r＝(180l2)/(nπ)180l2180l2180l22nπnπnπ，
所以图中扇形面积为：
(1)/(2)×l1×R−(1)/(2)×l2×r＝(1)/(2)l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

(l

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−

l

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)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (1)/(2)111222×l1×R−(1)/(2)×l2×r＝(1)/(2)l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

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)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 1×R−(1)/(2)111222×l2×r＝(1)/(2)l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

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)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 2×r＝(1)/(2)111222l1(180l1)/(nπ)−(1)/(2)l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

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=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 1(180l1)/(nπ)180l1180l1180l11nπnπnπ−(1)/(2)111222l2(180l2)/(nπ)
=(90)/(nπ)

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)=(90)/(nπ)(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 2(180l2)/(nπ)180l2180l2180l22nπnπnπ
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=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (90)/(nπ)909090nπnπnπ

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=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (90)/(nπ)909090nπnπnπ(l1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 1+l2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 2)(l1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 1−l2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 2)
=(1)/(2)•(180)/(nπ)((nπ)/(180)R−(nπ)/(180)r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (1)/(2)111222•(180)/(nπ)180180180nπnπnπ((nπ)/(180)nπnπnπ180180180R−(nπ)/(180)nπnπnπ180180180r)(l1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 1+l2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 2)
=(1)/(2)•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． (1)/(2)111222•(l1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 1+l2)(R−r)＝(1)/(2)(l1+l2)d．
故猜想正确． 2)(R−r)＝(1)/(2)111222(l1+l2)d．
故猜想正确． 1+l2)d．
故猜想正确． 2)d．
故猜想正确．