将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，-π2≤φ<π2）图象上每一点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度得到y=sinx的图象．（1）求f（x）的解析式：（2）当x∈[0，3

Question

将函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω>0，-(π)/(2)≤φ<(π)/(2)）图象上每一点的横坐标变为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移(π)/(6)个单位长度得到y=sinx的图象．
 （1）求f（x）的解析式：
（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）=m有唯一实数根，求m的取值范围．

Answer 1

（1）由题意可得，把y=sinx的图象向左平移(π)/(6)个单位长度得到y=sin（x+(π)/(6)）的图象；
再把所得图象上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，可得y=sin（(1)/(2)x+(π)/(6)）的图象，
故f（x）=sin（ωx+φ）=sin（(1)/(2)x+(π)/(6)），求得ω=(1)/(2)，φ=(π)/(6)，即f（x）=sin（(1)/(2)x+(π)/(6)）．
（2）当x∈[0，3π]时，(1)/(2)x+(π)/(6)∈[(π)/(6)，(5π)/(3)]，sin（(1)/(2)x+(π)/(6)）∈[-1，1]．
令t=(1)/(2)x+(π)/(6)∈[(π)/(6)，(5π)/(3)]，
方程f（x）=m有唯一实数根，即函数f（x）=g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点．
结合图象可得，当-0.5<m<0.5时，g（t）=sint 的图象和直线y=m有唯一的交点，
故m的范围为：-0.5<m<0.5，或m=1，或 m=-1．