△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转。（1）当点B在第一象限，纵坐标是时，求点

Question

△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=2 ，把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位于坐标原点O（如图），△ABC可以绕点O作任意角度的旋转。

（1）当点B在第一象限，纵坐标是 时，求点B的横坐标；
（2）如果抛物线 （a≠0）的对称轴经过点C，请你探究：
①当 时，A，B两点是否都在这条抛物线上？并说明理由；
②设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）∵点O是AB的中点， ∴ ， 设点B的横坐标是x（x>0），则 ， 解得 （舍去）， ∴点B的横坐标是 ； （2）①当 时， 得 （＊）， ， 以下分两种情况讨论： 情况1：设点C在第一象限（如图甲），则点C的横坐标为 ， ， 由此，可求得点C的坐标为 ， 点A的坐标为 ， ∵A，B两点关于原点对称， ∴点B的坐标为 ， 将点A的横坐标代入（＊）式右边，计算得 ，即等于点A的纵坐标； 将点B的横坐标代入（＊）式右边，计算得- ，即等于点B的纵坐标， ∴在这种情况下，A，B两点都在抛物线上； 情况2：设点C在第四象限（如图乙），则点C的坐标为 ， 点A的坐标为 ，点B的坐标为 ， 经计算，A，B两点都不在这条抛物线上； ②存在；m的值是1或-1。 ，因为这条抛物线的对称轴经过点C，所以-1≤m≤1， 当m=±1时，点C在x轴上， 此时A，B两点都在y轴上， 因此当m=±1时，A，B两点不可能同时在这条抛物线上。