已知抛物线C：y2=2px（p>0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．（1）求C的方程；（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．

Question

已知抛物线C：y²=2px（p>0）的焦点为F，C上一点（3，m）到焦点的距离为5．
（1）求C的方程；
（2）过F作直线l，交C于A、B两点，若线段AB中点的纵坐标为-1，求直线l的方程．

Answer 1

（1）抛物线C：y²=2px（p>0）的准线方程为x=-(p)/(2)，
由抛物线的定义可知3-(-(p)/(2))=5（2分）
解得p=4（3分）
∴C的方程为y²=8x．（4分）
（2）由（1）得抛物线C的方程为y²=8x，焦点F（2，0）
设A，B两点的坐标分别为A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则

y12=8x1

y22=8x2

（6分）
两式相减．整理得(y2-y1)/(x2-x1)=(8)/(y2+y1)
∵线段AB中点的纵坐标为-1
∴直线l的斜率kAB=(8)/(y2+y1)=(8)/((-1)×2)=-4（10分）
直线l的方程为y-0=-4（x-2）即4x+y-8=0（12分）