请介绍几种椭圆系方程并做以解析最好说明方程中的字母含义和一些应用注意事项.

Question

请介绍几种椭圆系方程并做以解析
最好说明方程中的字母含义和一些应用注意事项.

Answer 1

一、 椭圆的几何性质
变元范围
由椭圆的标准方程 （a>b>0）知｜x｜≤a,｜y｜≤b,说明椭圆位于直线 和 所围成的矩形里.
对称性及中心
1）判断曲线关于x轴、y轴、原点对称的依据
若把方程中的x换成－x,方程不变,则曲线关于y轴对称.
若把方程中的y换成－y,方程不变,则曲线关于x轴对称.
若把方程中的x、y同时换成－x、－y,方程不变,则曲线关于原点对称.
2）椭圆关于x轴、y轴对称也关于原点对称
对于椭圆标准方程,把x换成－x,或把y换成－y,或把x、y同时换成－x、－y方程都不变,所以图形关于x轴、y轴和原点都是对称的,这时,坐标轴是椭圆的对称轴；原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
顶点及长短轴
1）椭圆的顶点
椭圆 （a>b>0）和它的对称轴有四个交点 (－a,0)、 (a,0)、 (0,－b)、 (0,b),这四个交点叫做椭圆的顶点.
2）椭圆的长轴、短轴
线段 叫做椭圆的长轴,它的长为2a,a叫做椭圆的长半轴长.
线段 叫做椭圆的短轴,它的长为2b,b叫做椭圆的短半轴长.
离心率
椭圆的焦距与长轴长的比 ,叫做椭圆的离心率.
离心率的取值范围是：0＜e＜1.
e越接近1,则c就越接近a,从而 越小,因此椭圆越扁；反之,e越接近于0,c就越接近0,从而b越接近于a,这时椭圆就越接近于圆.
当且仅当a=b时,c=0,这时两个焦点重合,图形这时就变为圆,因此方程即为x2+y2=a2.
上述e的数量的变化,反映了椭圆的扁平程度,如果两焦点与原点重合,即a=b,则c=0,图形发生质的变化就不再是椭圆,成为圆x2+y2=a2.
准线方程
1）椭圆 （a>b>0）的准线方程为：；
2）椭圆 （a>b>0）的准线方程为：；
3）两准线间的距离为 .
焦半径公式
1）椭圆的焦半径公式
若P（x,y）是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆 （a＞b＞0）的左焦点和右焦点.则：｜PF1｜＝a＋ex,｜PF2|＝a－ex；
若P（x,y）是椭圆上任一点,F1,F2是椭圆 （a＞b＞0）的下焦点和上焦点,则｜PF1｜＝a＋ey,｜PF2|＝a－ey.
（1）如图(1)所示.
（2）如图(2)所示：
2）在求过焦点的椭圆的弦长时,利用焦半径公式非常简捷.
设弦AB,其中A（x1,y1）,B（x2,y2）,若AB过焦点F1,则｜AB｜＝｜AF1｜＋
｜BF1｜＝2a＋e（x1＋x2）.
3）椭圆的通径
定义：经过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦P1P2,叫做椭圆的通径.
公式：.
二、 椭圆的参数方程
椭圆 （a>b>0）的参数方程为：.
参数方程中的a、b即是椭圆标准方程中的a、b,常数a、b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
另外 的含义为：
如图,以原点为圆心,分别以a,b (a>b)为半径作两个圆,点B是大圆半径OA与小圆的交点,过A点作AN⊥ox,垂足为N,过点B作BM⊥AN,垂足为M,设点M的坐标是（x,y）,是以ox为始边,OA为终边的正角.点M的轨迹为一椭圆.
三、 直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系为相交、相切和相离.
直线与椭圆相交时可能是一个交点,即相切；也可能是两个交点.
直线与椭圆相切时,椭圆上一点M（ ,）处的切线为 ；与椭圆相切,斜率为k的切线为 .
四、 椭圆系
共焦点的椭圆系的方程为
（其中k>c2,c为半焦距）
具有相同离心率的标准椭圆系的方程为
.
具体请看下面的连接