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(2012•厦门模拟)某公园内有一椭圆形景观水池,经测量知,椭圆长轴长为20米,短轴长为16米.现以椭圆长轴所在直线为x轴,短轴所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.(I)
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(2012•厦门模拟)某公园内有一椭圆形景观水池,经测量知,椭圆长轴长为20米,短轴长为16米.现以椭圆长轴所在直线为x轴,短轴所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示.
(I)为增加景观效果,拟在水池内选定两点安装水雾喷射口,要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等,请指出水雾喷射口的位置(用坐标表示),并求椭圆的方程;
(Ⅱ)为增强水池的观赏性,拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置.请确定点肘的位置,使此三角形区域面积最大.
(I)为增加景观效果,拟在水池内选定两点安装水雾喷射口,要求椭圆上各点到这两点距离之和都相等,请指出水雾喷射口的位置(用坐标表示),并求椭圆的方程;
(Ⅱ)为增强水池的观赏性,拟划出一个以椭圆的长轴顶点A、短轴顶点B及椭圆上某点M构成的三角形区域进行夜景灯光布置.请确定点肘的位置,使此三角形区域面积最大.
▼优质解答
答案和解析
(I)设椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,则2a=20,2b=16,∴a=10,b=8,c=6
由椭圆定义知,水雾喷射口的位置应选择再椭圆的两个焦点处,其左边为(-6,0),(6,0)
椭圆的方程为;
+
=1
(Ⅱ)由题知A(10,0),B(8,0)
记点M到直线AB的距离为d,过点M与AB平行的直线为l
∵|AB|=2
,∴S△ABM=
d
要使△ABM的面积最大,则只需d最大,即l与AB这两平行线间的距离最大
∴l与椭圆相切于第三象限的点M,即为所求的点
∵kAB=−
,∴设l的方程为:y=-
x+m
代入到椭圆方程,消元可得32x2-40mx+25m2-1600=0①
令△=1600m2-4×32×(25m2-1600)=0,可得m=±8
,由题意,m=-8
代入(1),可得x=-5
,代入直线l的方程,可得y=-4
∴M(-5
由椭圆定义知,水雾喷射口的位置应选择再椭圆的两个焦点处,其左边为(-6,0),(6,0)
椭圆的方程为;
x2 |
100 |
y2 |
64 |
(Ⅱ)由题知A(10,0),B(8,0)
记点M到直线AB的距离为d,过点M与AB平行的直线为l
∵|AB|=2
41 |
41 |
要使△ABM的面积最大,则只需d最大,即l与AB这两平行线间的距离最大
∴l与椭圆相切于第三象限的点M,即为所求的点
∵kAB=−
4 |
5 |
4 |
5 |
代入到椭圆方程,消元可得32x2-40mx+25m2-1600=0①
令△=1600m2-4×32×(25m2-1600)=0,可得m=±8
2 |
2 |
代入(1),可得x=-5
2 |
2 |
∴M(-5
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