（2011•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）

Question

（2011•山东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 ．如图所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x=﹣3于点D（﹣3，m）．
（1）求m ² +k ² 的最小值；
（2）若|OG| ² =|OD|∙|OE|，
（i）求证：直线l过定点；
（ii）试问点B，G能否关于x轴对称？若能，求出此时△ABG的外接圆方程；若不能，请说明理由．

Answer 1

（1）2    （2）见解析

（1）设y=kx+t（k＞0），
由题意，t＞0，由方程组 ，得（3k ² +1）x ² +6ktx+3t ² ﹣3=0，
由题意△＞0，
所以3k ² +1＞t ² ，设A（x ₁ ，y ₁ ），B（x ₂ ，y ₂ ），
x ₁ +x ₂ =﹣ ，所以y ₁ +y ₂ = ，
∵线段AB的中点为E，∴x _E = ，y _E = ，
此时k _OE = =﹣ ．
所以OE所在直线方程为y=﹣ x，
又由题设知D（﹣3，m）．
令x=﹣3，得m= ，即mk=1，
所以m ² +k ² ≥2mk=2，
（2）（i）证明：由（1）知OD所在直线方程为y=﹣ x，
将其代入椭圆C的方程，并由k＞0，解得G（﹣ ， ），
又E（ ， ），D（﹣3， ），
由距离公式和t＞0，得
|OG| ² =（﹣ ） ² +（ ） ² = ，
|OD|= ，
|OE|= = ．
由|OG| ² =|OD|∙|OE|，
得t=k，
因此直线l的方程为y=k（x+1），
所以直线l恒过定点（﹣1，0）；
（ii）由（i）得G（﹣ ， ），
若点B，G关于x轴对称，则B（﹣ ，﹣ ），
将点B坐标代入y=k（x+1），
整理得 ，
即6k ⁴ ﹣7k ² +1=0，解得k ² = 或k ² =1，
验证知k ² = 时， 不成立，故舍去
所以k ² =1，又k＞0，故k=1，
此时B（﹣ ，﹣ ），G（﹣ ， ）关于x轴对称，
又由（I）得x ₁ =0，y ₁ =1，所以点A（0，1），
由于△ABG的外接圆的圆心在x轴上，可设△ABG的外接圆的圆心为（d，0），
因此d ² +1=（d+ ） ² + ，解得d=﹣ ，
故△ABG的外接圆的半径为r= = ，
所以△ABG的外接圆方程为 ．