已知A,B是椭圆X²/a²+Y²/b²=1（a＞b＞0）长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的点,直线AM,BN的斜率k1,k2,且k1k2≠0,若绝对值K1+绝对值K2的最小值为1,求椭圆离心率

Question

已知A,B是椭圆X²/a²+Y²/b²=1 （a＞b＞0）长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的点,直线AM,BN的斜率k1,k2,且k1k2≠0,若绝对值K1+绝对值K2的最小值为1,求椭圆离心率

Answer 1

依题意,设A(a,0),B(-a,0),M(acosW,bsinW),N(acosW,-bsinW).
|k1|+|k2|=|bsinW/(acosW-a)|+|-bsinW/(acosW+a)|
=(b/a)|sinW|[1/(1-cosW)+1/(1+cosW)]=2(b/a)/|sinW|,
当|sinW|=1时,|k1|+|k2|有最小值,2b/a=1 ==> a=2b.
椭圆离心率 e=c/a=sqrt(a^2-b^2)/a=sqrt(3)/2.