已知椭圆C：y2a2+x2b2=1（a＞b＞0）的离心率为e=63，且椭圆C上的点到点Q（2，0）的距离的最大值为3．（1）求椭圆C的方程．（2）已知过点T（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在

Question

已知椭圆C：(y2)/(a2)+(x2)/(b2)=1（a＞b＞0）的离心率为e=(√(6))/(3)，且椭圆C上的点到点Q（2，0）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程．
（2）已知过点T（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B两点，若在x轴上存在一点E，使∠AEB=90°，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）∵e＝(√(6))/(3)，∴a²=3b²，
设椭圆的方程为(y2)/(3b2)+(x2)/(b2)＝1，设P（x，y）为椭圆C上任意一点，
|PQ|²=（x-2）²+y²=-2（x+1）²+6+3b²…（2分）
由于x∈[-b，b]，当b≥1时，此时|PQ|²取得最大值6+3b²=9，∴b²=1，a²=3
当b＜1时，此时|PQ|²取得最大值（b+2）²=9，不符合题意…（5分）
故所求椭圆方程为(y2)/(3)+x2＝1…（6分）
（2）由已知，以AB为直径的圆与X轴有公共点，…（7分）
设A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），AB中点M（x₀，y₀）
直线l：y=kx+2代入(y2)/(3)+x2＝1得（3+k²）x²+4kx+1=0，△=12k²-12
∴x0＝(x1+x2)/(2)＝(−2k)/(3+k2)，y0＝kx0+2＝(6)/(3+k2)，…（8分）
|AB|＝√(1+k2)(√(△))/(3+k2)＝(2√(3)√(k4−1))/(3+k2)…（10分）
∴

△＝12k2−12＞0

(6)/(3+k2)≤(1)/(2)|AB|

解得：k⁴≥13，即k≥

4

13

或k≤−

4

13

…（12分）
∴所求直线l的斜率k的取值范围是k≥

4

13

或k≤−

4

13

…（13分）