椭椎体表面积怎么求?底面是椭圆形的椎体怎么求表面积?设长轴a=8,宽轴b=4.椎体高c=3.求其表面积是多少?

Question

椭椎体表面积怎么求?
底面是椭圆形的椎体怎么求表面积?设长轴a=8,宽轴b=4.椎体高c=3.求其表面积是多少?

Answer 1

设椭园锥底面由椭园曲线x^2/a^2+y^2/b^2=1所围成.园锥的高为h.先求椭园底面的周长S.设x=acost,y=bsint,则
S=4∫(0,п/2)√{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt
=4∫(0,п/2)√[(asint)^2+(bcost)^2]dt
=4∫(0,п/2)√[a^2-(a^2-b^2)(cost)^2]dt
=4a∫(0,п/2)√[1-(e^2)(cost)^2]dt (其中e为椭园的离心率)
这叫第二类椭园积分,不可能用一个初等函数来表是它,因此椭园没有周长公式,
一定要求周长,则只能用近似积分法或展成无穷级数求解.
椭园锥的底面积A=пab.
椭园锥的侧面积同样没有公式,因为又是椭园积分,积不出来(是不能用初等函数表示出来).但可写出侧面积F的积分表达式.
设椭园底面的半径为r=√(x^2+y^2)=√[acost)^2+(bsint)^2]
则椭园锥的侧母线L=√(r^2+h^2)=√[(acost)^2+(bsint)^2+h^2]
dF=(1/2)(L^2)ds=(1/2)(L^2)√{[x'(t)]^2+[y'(t)]^2}dt,于是侧面积:
F=2a∫(0,п/2){[(acost)^2+(bsint)^2+h^2][1-(e^2)(cost)^2]}dt
=2(a^2)∫(0,п/2){1-(e^2)(sint)^2+(h/a)^2][1-(e^2)(cost)^2]}dt