在棱长为1的正方体内放九个大小相等的小球,八个角各放一个,中间放一个.求这些等球的最大半径是多少?

Question

在棱长为1的正方体内放九个大小相等的小球,八个角各放一个,中间放一个.求这些等球的最大半径是多少?

Answer 1

假设半径为 r .
∴ 八个角小球的球心为顶点的正方体棱长为 1-2r .
∴ 在体对角线两个球的球心距离是 (1-2r)*√3 ,即 √3 - 2r*√3.
r 最大的情况,是正方体体对角线两个球中间再夹一个球.
所以该距离至少是 r 的 4 倍,即 4r ≤ √3 - 2r*√3
解这个不等式,得：
r ≤ √3/(4+2√3) 上下同时乘 (4-2√3),再化简,得 r ≤ - 3/2 + √3