y的替换过程不懂?某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆,截面的面积为5m^2.问底宽x为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省?

Question

y的替换过程不懂?
某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆,截面的面积为5m^2.问底宽x为多少时才能使截面的周长最小,从而使建造时所用的材料最省?

Answer 1

设高为y.
由已知条件可得 xy+1/2π(x/2)^2=5
记周长为C
则C=2x+2y+πx
把y换掉 ,得C=x+10/x+（πx）/4
求导, 得C‘=1-10/x^2+π/4
令c'=0, 求得x=根号40/4+π , 可以检验此时C取得极小值即最小值.
附：y的替换过程
xy+1/2π(x/2)^2=5
xy+π/8(x^2)=5
等式左右同时除以x（x是底宽一定是正数）,得y=5/x-π/8x