绳子松弛时是什么形状两手各抓住绳子的一端,绳子松弛时,在重力作用下绳子会弯曲,此时绳子是什么形状?圆弧抛物线双曲线还是别的?怎么求该曲线的方程?

Question

绳子松弛时是什么形状
两手各抓住绳子的一端,绳子松弛时,在重力作用下绳子会弯曲,此时绳子是什么形状?
圆弧 抛物线 双曲线 还是别的?
怎么求该曲线的方程?

Answer 1

悬链线 (Catenary) 是一种曲线,它的形状因与悬在两端的绳子因均匀引力作用下掉下来之形相似而名.适当选择坐标系后,悬链线的方程是一个双曲余弦函数,其公式为：
y = a*cosh(x/a)
其中 a 是一个常数.
悬链线数学表达式的证明
注释
最低点处受水平向左的拉力H,右悬挂点处受一个斜向上的拉力T,设T和水平方向夹角为θ,绳子一半的质量为m,受力分析有：
Tsinθ=mg;
Tcosθ=H,
并且对于绳上任意一点有
tanθ=dy/dx=mg/H;
mg=ρs;
其中s是右半段绳子的长度,ρ是绳子密度,认为绳子截面积是1,带入得微分方程dy/dx=ρs/H;利用弧长公式ds=√(1+dy^2/dx^2)*dx;所以s=∫√(1+dy^2/dx^2)*dx;
所以把s带入微分方程得dy/dx=ρ∫√(1+dy^2/dx^2)*dx/H;.(1)
对于(1)设p=dy/dx微分处理
得 p'=ρ/H*√(1+p^2).(2)
p'=dp/dx;
对（2）分离常量求积分
∫dp/√(1+p^2)=∫ρ/H*dx
得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H+C
当x=0时,dy/dx=p=0;带入得C=0；
整理得ln[p+√(1+p^2)]=ρx/H；
1+p^2=e^(2ρx/H)-2pe^(ρx/H)+p^2;
即p=[e^(ρx/H)-e^(-ρx/H)]/2=dy/dx;
dy得y=H/(2ρ)*[e^(ρx/H)+e^(-ρx/H)] ；
如果令a=H/ρ的话
y=[e^(x/a)+e^(-x/a)]/(2a)= a*cosh(x/a).
工程中的应用
悬索桥、双曲拱桥、架空电缆都用到悬链线的原理.在工程中有一种应用,a称作悬链系数.如果我们改变公式的写法,会给工程应用带来很大帮助,公式如下：
y=a(cosh(x/a)-1
还有以下几个公式,可能也有用：
L=asinh(x/a)
tanθ=sinh(x/a)
F0=aγ
其中L是曲线中某点到0点的链索长度,α是该点的正切角,F0是0点处的水平张力,γ是链索的单位重量.利用上述公式即能计算出任意点的张力.