某水库进入汛期的水位升高量hn(标高)与进入汛期的天数n的关系是hn＝20，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一

Question

某水库进入汛期的水位升高量 h _n (标高)与进入汛期的天数 n 的关系是 h _n ＝20 ，汛期共计约40天，当前水库水位为220(标高)，而水库警戒水位是400(标高)，水库共有水闸15个，每开启一个泄洪，一天可使水位下降4(标高)．
（I）若不开启水闸泄洪，这个汛期水库是否有危险？若有危险，将发生在第几天？
（II）若要保证水库安全，则在进入汛期的第一天起每天至少应开启多少个水闸泄洪？
(参考数据：2.27 ² ＝5.1529，2.31 ² ＝5.3361)

Answer 1

（I）在第4天会发生危险．
（II）每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全．

（I）进入汛期的水库水位标高 f ( n )＝20＋220．
令20＋220>400，整理得5 n ² ＋6 n >81，代值验证得 n ≥4，所以，在第4天会发生危险．
II）设每天开启 p 个水闸泄洪，则 f ( n )＝20＋220－4 np ，
令20＋220－4 np ≤400，
即 p ≥＝5()＝5()．
下面证明函数 g ( n )＝为增函数．
事实上，令 g ( x )＝( x ≥1)，
g ′ ( x )＝()′＝＝．
当 x ≥1时， g ′( x )>0，∴ g ( x )在 x ≥1时为增函数，
所以　 g ( n )＝为增函数．  
于是　　 g ( n ) _max ＝ g (40)＝ p ≥5×2.04＝10.20．
故知每天开启11个水闸泄洪，才能保证水库安全．