小船渡河问题里俩个速度的大小对于最小时间和位移有什么影响

Question

小船渡河问题里俩个速度的大小对于最小时间和位移有什么影响

Answer 1

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小船渡河的问题
在高中物理教学中,往往遇到小船在水有一定流速的河中渡河的问题.这类问题一般有小船渡河的时间最小,位移最小,速度最小三种情况： 问题一：小船如何渡河时间最小,最小时间为多少?
分析及设河宽为d,小船在静水中的速度为V船,水流速度为V水,如图1中的甲.将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解.沿平行河岸方向的速度不影响渡河的快慢,小船渡过河时时间与垂直河岸方向的速度有关,当小船垂直河岸渡过河时时间最小,即最小时间为tmin=d/V船.
[例题1]：河宽60m,小船在静水中的速度为4m/s,水流速度为3m/s.求小船渡河的最小时间是多少,小船实际渡河的位移为多大?
分析及如图1中的乙,当小船垂直河岸渡过河时时间最小,即最小时间为tmin=d/V船.
∴tmin=d/V船=60/4=15(s).
小船实际渡河的位移SAB=V合tmin=5*15=75(m).
问题二：小船如何渡河到达对岸的位移最小,最小位移是多少? 分析及在小船渡河过程中,将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解,如图2中的甲.当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等,方向相反时,即V1=V水,小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向, 这时渡河到达对岸的位移最小,Smin=d.而渡河时间t=d/V2=d/Vsinθ.
[例题2]：河宽60m,小船在静水中的速度为5m/s,水流速度为3m/s.求小船渡河的最小位移是多少,小船实际渡河的时间为多大?
分析及如图2 中的乙,当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水,小船要垂直河岸方向渡河,这时渡河到达对岸的位移最小,Smin=d=60(m).而V
船与河岸的夹角θ=arc cos(V船/V水)=530
.这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/V船sinθ=60/4=15(s).
问题三：小船如何渡河速度最小,最小速度为多少?
分析及将小船渡河运动看作水流的运动（水冲船的运动）和小船相对静水的运动（设
水流不流动时船的运动）的合运动.如图3中的甲,要使小船沿直线从A运动到B,小船在静水中的最小速度为多少?根据运动的合成和平行四边形定则,当小船的速度垂直于AB直线时,船速最小,最小船 速为V船=V水sinθ,船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V船/V水). [例题3]：如图3的乙,一条小船位于100m宽的河岸A点处,从这里向下游100√3米处有一危险区,若水流速度为4m/s,为了使小船避开危险区沿直线到达对岸,小船在静水中的速度至少多大?

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分析及为了使小船避开危险区沿直线AB到达对岸,则小船的合速度方向沿直线AB.根据运动的合成和平行四边形定则,当小船的速度垂直于AB直线时,船速最小,最小船 速为
V船=V水sinθ.由几何关系可知：tgθ=√3/3, θ=300.∴V船=4*sin300
=2(m/s). 而船速与水速方向的夹角为900+arc sin(V船/V水)=1200.

方法解二：
运动的合成与分解专题中,有一个重要类型题“小船渡河”问题,这类题目主要研究“船怎样行驶,渡河时间、渡河位移最短”.教学实践中,我观察到许多学生是死记硬背记住结论,有时还混淆,怎样让学生利用运动的合成与分解规律理解渡河问题呢?我经过多届学生试验,摸索出一种浅显易懂的讲解方法.
例题：一条宽为d的河,水流速度为V1,船在静水中的速度为V2,那么 （1）怎样渡河时间最短,最短时间为多少?
（2）若V1＜ V2,怎样渡河位移最小,最小位移为多少? （3）若V1 ＞V2,怎样渡河位移最小,最小位移为多少? （4）若V1 = V2,怎样渡河位移最小,最小位移为多少?
一、渡河时间最短问题
讲授之前,先复习合运动与分运动的关系,（等时性、独立性、等效性、运算法则为三角形定则）,然后画图讲解,小船的运动方向可能有三种情况,一是沿河岸上游开船,如轨迹1、2、3,可能向河正对岸开船如轨迹4,可能向河岸下游开船如轨迹5、6、7,由于渡河时间t=S船/V船= S水/V水= S合/V合,而船渡河的分位移容易求,所以利用t=S船/V船计算简单,从船运动的分位移图中可知,当船头垂直正对岸开动时,船的分位移最短,渡河时间最短.

二、渡河位移最短问题
首先分析渡河位移,是指船的实际位移,即合位移.合位移的方向大致有三种,沿河岸上游、垂直河对岸、沿河岸下游,如图2,显然合位移为河宽时,渡河位移最短,而合位移方向即是合速度方向,假设水速方向向右,由三角形定则可知,船速方向应斜向上游某一角度θ,而且由几何关系知,船速只有大于水速时,合速度才可能指向正对岸,最短位移才可能为河宽.此时cosθ= V水/ V船,从而求出θ.

当水速大于船速时,由三角形定则可知,两个分速度应该首尾相接,合速度由第一个矢量的始端指向第二个矢量的末端,船速的可能方向如图3,就像以水速末端为圆心,以船速为半径画的圆一样,对应的合速度方向如图4,由合速度的方向即为合位移方向可知,合位移方向如图4虚线,显然从水速始端做圆的切线时,合位移为最短.此时船速与合速度垂直,船速方向仍应斜向上游某一角度θ,cosθ=V船 / V水,可求出θ,由几何关系可求最短位移Smin=d/ cosθ=d V水/ V船.

讲到这里,学生感觉好象船速大于水速与船速小于水速,求解最短位移的分析方法不同,我们应澄清这一错误认识.我们再按三角形定则,在水速的末端做出船

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速的可能方向,找出对应的合速度、合位移方向,如图5,由图可知,当船速方向斜向上游某一角度θ,可以使合速度方向恰好指向河正对岸,渡河位移最短.由此可见两种情况下的分析方法是完全一致的.只是当船速大于水速时,采用第一种方法略微简单而已.采用这种讲解方法,还可以轻松回答最棘手的问题-----船速等于水速时最短的渡河位移.仍按三角形定则做图6,由图可知,船速方向与河岸上游的夹角越小,渡河位移就越短,最极限的状态为船速方向刚好与水速方向相反,这时最短渡河位移为河宽.