设f（ξ）在复平面上解析,试讨论f（ξ的共轭）的共轭函数,f（ξ）的共轭函数,f（ξ的共轭）,的解析性（各种情况都要讨论）

Question

设f（ξ）在复平面上解析,试讨论f（ξ的共轭 ）的共轭函数,
f（ξ ）的共轭函数 ,f（ξ的共轭 ）,的解析性（各种情况都要讨论）

Answer 1

z=x+iy
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
f(z)在复平面D上解析的充要条件是
(1)u(x,y),v(x,y)在D内可微
(2)u(x,y),v(x,y)在D内满足柯西黎曼方程:u'x=v'y ,u'y=-v'x (u'x表示u对x求偏导)
上面是已知 下面开始讨论
1)f（z的共轭 ）
z的共轭=x-iy
故f（z的共轭 ）=u(x,-y)+iv(x,-y)
显然满足条件(1)
而若要满足条件(2) 则u'x=v'-y(即u'x=-v'y),u'-y=-v'x(即u'y=v'x)
故当且仅当u'x=v'y=u'y=-v'x=0时 满足条件(2)
综上当且仅当f(z)=c(c为常数)时,f（z的共轭 ）在D解析
2)f(z)的共轭
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
故f(z)的共轭=u(x,y)-iv(x,y)
类似上问的讨论可得当且仅当f(z)=c(c为常数)时,f(z)的共轭在D解析
3)（z的共轭 ）的共轭
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
故f(z的共轭)的共轭=u(x,-y)-iv(x,-y)
类似上面的讨论易知它2个条件都满足
故f(z的共轭)的共轭在D上解析