设总体X的概率分布为X012P2θ（1-θ）2θ21-2θ其中θ（0＜θ＜12）是未知参数，利用总体X的如下样本值：0，1，2，0，2，1，0，2．求θ的矩估计值和最大似然估计值．

Question

设总体X的概率分布为

X	0	1	2
P	2θ（1-θ）	2θ2	1-2θ

其中θ（0＜θ＜(1)/(2)）是未知参数，利用总体X的如下样本值：0，1，2，0，2，1，0，2．求θ的矩估计值和最大似然估计值．

Answer 1

（1）矩估计：
∵EX=0•2θ（1-θ）+1•2θ²+2•（1-2θ）=2（θ-1）²，
而

.

X

＝(1)/(8)(0+1+2+0+2+1+0+2)＝1．
令EX＝

.

X

，即2(θ−1)2＝

.

X

，
∴θ＝1±√((.X)/(2))＝1±√((1)/(2))，
显然，由于0＜θ＜(1)/(2)，
∴取θ＝1−(√(2))/(2)为矩估计值．
（2）最大似然估计．先写出似然函数L（θ）．
L（θ）=[2θ（1-θ）]³（2θ²）²（1-2θ）³=32θ⁷（1-θ）³（1-2θ）³，
∴lnL（θ）=ln32+7lnθ+3ln（1-θ）+3ln（1-2θ），
∴(dlnL(θ))/(dθ)＝(7)/(θ)−(3)/(1−θ)−(6)/(1−2θ)＝(26θ2−30θ+7)/(θ(1−θ)(1−2θ))＝0，
解得最大似然估计值
θ＝(15±√(43))/(26)，由于θ＜(1)/(2)，取θ＝

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