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宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度至少是多少?

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宽为a的走廊与另一走廊垂直相连,如果长为8a的细杆能水平地通过拐角,则另一走廊的宽度至少是多少?
▼优质解答
答案和解析
如图,设细杆与另一走廊一边的夹角为θ(0<θ<
π
2
),
设另一走廊的宽为y,∵AB=
a
cosθ
,BC=8a−
a
cosθ
,∴y(θ)=BCsinθ=8asinθ−
asinθ
cosθ
(0<θ<
π
2
)
依题意必存在一个适当的0值使y最小.
y′(θ)=8acosθ−
asin2θ+acos
cos
=8acosθ−
a
cos

令y'=0得cos3θ=
1
8
,得csoθ=
1
2
,θ=
π
3

cosθ<
1
2
时,y'<0,当cosθ>
1
2
时,y'>0,
∴当cosθ=
1
2
,即θ=
π
3
时,ymin3
3
a,即另一走廊的宽度至少是3
3
a
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