∮Γxyzdz,其中Γ是用平面y=z截球面X2+Y2+Z2=1（2是平方）所得的截痕,从z轴的正向看去,沿逆时针方向.那要这样做:把y=z代入x^2+y^2+z^2=1得x^2＋2y^2=1,所以设x=cost,y=1/√2sint,所以Γ的参数方程是：x=cost

Question

∮Γxyzdz,其中 Γ是用平面y=z截球面X2+Y2+Z2=1（2是平方）所得的截痕,从z轴的正向看去,沿逆时针方向.
那要这样做:
把y=z代入x^2+y^2+z^2=1
得x^2＋2y^2=1,
所以设x=cost,y=1/√2 sint,
所以Γ的参数方程是：
x=cost,
y=1/√2 sint,
z=1/√2 sint,
t(0,2*pi)
所以,
∫(Γ) xyzdz
=∫(0～2π) cost×1/2×(sint)^2×1/√2×cost dt
=π/(8√2) 我在想,曲线积分可以用轮换吗?此题可以用吗,积分区域是关于zoy对称,函数是x的奇函数.

Answer 1

轮换的含义是关于被积函数关于积分区域关于积分元素三方面,各变量的地位是对等的,显然此题不行.
换成对弧长的线积分,平面x+y+z=a,可以用轮换.