一只猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同,猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同；而猫跑3步时间与狗跑5步的时间相同,猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同.猫,狗和兔沿着周长为300米的圆形跑道

Question

一只猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同,猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同；而猫跑3步时间与狗跑5步的时间相同,猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同.猫,狗和兔沿着周长为300米的圆形跑道同时同地同向出发,问：当它第一次相处同一位置时,各跑了多少路程?
两个同心圆跑道,甲跑内圈,每9分钟一圈,乙跑外圈,每12分钟跑一圈.同心圆的圆心是O点,内圈上的A点与外圈上的B点和O点是在同一条线上,且A和B在O的同一侧,甲从A点,乙从B点同时出发,顺时针跑步,问：（1）最少经过多少时间,甲乙的位置与O在同一直线上,且他们在O的同一侧?问：（2）最少经过多少时间,甲乙的位置与O在同一直线上,且他们不在O的同一侧

Answer 1

1)设猫跑一步的路程(以下简称步长)为"1",跑一步的时间(以下简称步时)为"1",则猫的速度的"1"…………（这里三个单位"1"的意义不一样）
(2)"猫跑5步的路程与狗跑3步的路程相同"可知狗的步长5/3;
(3)"猫跑7步的路程与兔跑5步的路程相同"可知兔的步长为7/5
(4)"而猫跑3步的时间与狗跑5步的时间相同"可知狗的步时为3/5
(5)"猫跑5步的时间与兔跑7步的时间相同"可知兔的步时为5/7
(6)由以上条件可求出狗的速度为:(5/3) / (3/5)=25/9;兔的速度为:(7/5)/(5/7)=49/25.
(7)由此可得猫、兔、狗的速度之比为1:(49/25):(25/9)=225:441:625
(8)根据行程问题中"时间相等的情况下,路程与速度成正比"得猫、兔、狗所走的路程之比也为225:441:625
(9)由此可设第一次相遇时猫、兔、狗所走的路程分别为225t,441t,625t.(t为最小的有理数)
(10)因为无论哪两种动物相遇,其中一动物比另一动物多走的路程为整数圈,故可设:441t-225t=300x,625t-441t=300y,625t-225t=300z.(x,y,z都为最小整数)
(11)整理上述方程得:x=(18/25)*t;y=(46/75)*t;z=(4/3)*t
(12)为使x,y,z最小,进一步整理得:x=(9/25)*2t;y=(23/75)*2t;z=(2/3)*2t
(13)分析上式可知2t就为25,3,75的最小公倍数,2t=75,t=37.5
(14)代入可得:
猫：225*37.5 = 8437.5m
兔：441*37.5= 16537.5m
狗：625*37.5 = 23437.5m
2)1.12和9的最小公倍数是36,所以36分钟后甲乙的位置与O在同一直线上,且他们在O的同一侧
2.36分钟后甲比乙多跑了1圈,所以甲比乙多跑半圈所需要的时间是36/2=18分钟,也就是说最少经过18分钟,甲乙的位置与O在同一直线上,且他们不在O的同一侧