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(2011•江苏)请你设计一个包装盒,如图所示,ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四个点重合于图中的点P,
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(1)若广告商要求包装盒侧面积S(cm2)最大,试问x应取何值?
(2)若广告商要求包装盒容积V(cm3)最大,试问x应取何值?并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.
▼优质解答
答案和解析
设包装盒的高为h(cm),底面边长为a(cm),则a=
x,h=
(30-x),0<x<30.
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,
∴当x=15时,S取最大值.
(2)V=a2h=2
(-x3+30x2),V′=6
x(20-x),
由V′=0得x=20,
当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0;
∴当x=20时,包装盒容积V(cm3)最大,
此时,
=
.
即此时包装盒的高与底面边长的比值是
.
2 |
2 |
(1)S=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,
∴当x=15时,S取最大值.
(2)V=a2h=2
2 |
2 |
由V′=0得x=20,
当x∈(0,20)时,V′>0;当x∈(20,30)时,V′<0;
∴当x=20时,包装盒容积V(cm3)最大,
此时,
h |
a |
1 |
2 |
即此时包装盒的高与底面边长的比值是
1 |
2 |
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