如图，斜四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形，侧面AA1B1B⊥底面ABCD，AA1=2，∠B1BA=60°．（Ⅰ）求证：平面AB1C⊥平面BDC1；（Ⅱ）求四面体AB1C1C的体积．

Question

如图，斜四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面是边长为1的正方形，侧面AA₁B₁B⊥底面ABCD，AA₁=2，∠B₁BA=60°．

（Ⅰ）求证：平面AB₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅱ）求四面体AB₁C₁C的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：如图，
在BAB₁中，∵AB=1，BB₁=2，∠B₁BA=60°，
∴AB12=AB2+BB12-2AB•BB1cos60°=1+4-2×1×2×(1)/(2)=3，
∴AB12+AB2=BB12，
∴B₁A⊥AB，
又∵侧面AA₁B₁B⊥底面ABCD，
∴B₁A⊥底面ABCD，则B₁A⊥BD，
又∵ABCD为正方形，
∴AC⊥BD，则BD⊥平面AB₁C，
∴平面AB₁C⊥平面BDC₁；
（Ⅱ） ∵C₁D∥B₁A，AB₁⊂平面AB₁C，C₁D⊄平面AB₁C，
∴C₁D∥平面AB₁C，
VC1-AB1C=VD-AB1C=VB1-ACD=(1)/(3)×(1)/(2)×√(3)=(√(3))/(6)．