半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（）A.16（π-3）B.16（π-2）C.8（2π-32）D.

Question

半径为2的球O中有一内接正四棱柱（底面是正方形，侧棱垂直底面），当该正四棱柱的侧面积最大时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差是（　　）

A. 16（π-

√(3)）

B. 16（π-

√(2)）

C. 8（2π-3

√(2)）

D. 8（2π-

√(3)）

Answer 1

设球内接正四棱柱的底面边长为a，高为h，则球的半径r=√(((h)/(2))2+((√(2))/(2)a)2)=2，
∴h²+2a²=16≥2√(2)ah，∴ah≤4√(2)．
∴S_侧=4ah≤16√(2)．
球的表面积S=4π×2²=16π．
∴当四棱柱的侧面积最大值时，球的表面积与该正四棱柱的侧面积之差为16π-16√(2)=16（π-√(2)）．
故选B．