近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促

Question

近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P万件（生产量与销售量相等）与促销费用x万元满足P＝3−(2)/(x+1)（其中0≤x≤a，a为正常数）．已知生产该产品还需投入成本（10+2P）万元（不含促销费用），产品的销售价格定为(4+(20)/(P))元/件．
（1）将该产品的利润y万元表示为促销费用x万元的函数；
（2）促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大．

Answer 1

（1）由题意知，y＝(4+(20)/(P))P−x−(10+2P)，
将P＝3−(2)/(x+1)代入化简得：y＝16−(4)/(x+1)−x （0≤x≤a）．…（6分）
（2）y＝17−((4)/(x+1)+x+1)≤17−2√((4)/(x+1)×(x+1))＝13，
当且仅当(4)/(x+1)＝x+1，即x=1时，上式取等号．…（9分）
当a≥1时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；
当a＜1时，y＝17−((4)/(x+1)+x+1)在[0，a]上单调递增，
所以x=a时，函数有最大值．即促销费用投入a万元时，厂家的利润最大．
综上，当a≥1时，促销费用投入1万元，厂家的利润最大；
当a＜1时，促销费用投入a万元，厂家的利润最大．…（12分）