设圆内接四边形的两对角线互垂,则过其交点所作任一边的垂线必平分其对边

Question

设圆内接四边形的两对角线互垂,则过其交点所作任一边的垂线必平分其对边

Answer 1

608.自圆内接四边形两对角线的交点,作一组对边延长线交角的平分线的垂线.则此直线必平分对角线的交角.这是一个网友的回答,发给你.


证明：如图,ABCD为圆内接四边形,对角线AC、BD相交于O,对边AD、BC相交于E,EF为∠DEC的平分线,EF分别交AC、BD于G、F,OH⊥EF交EF于H.我们来证明OH平分∠FOG.由已知得,∠1=∠2,∠5=∠6 （同弧上的圆周角）
∵∠3=180°-∠5 , ∠4=180°-∠6,
∴∠3=∠4.
于是,△EDF∽△ECG.
∴∠EFD=∠EGC.
∴△OFG为等腰三角形.
 ∵OH⊥FG (FE),
∴OH平分∠FOG  （等腰三角形底边上的高、顶角的平分线重合）.