（2012•南京二模）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD

Question

（2012•南京二模）某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在l上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边BC，CD用一根5米长的材料弯折而成，边BA，AD用一根9米长的材料弯折而成，要求∠A和∠C互补，且AB=BC．
（1）设AB=x米，cosA=f（x），求f（x）的解析式，并指出x的取值范围；
（2）求四边形ABCD面积的最大值．

Answer 1

（1）设AB=x米，则BC=x米，CD=5-x米，AD=9-x米，
则有5-x＞0，即x＜5．
在△ABD中，由余弦定理得BD²=AB²+AD²-2AB•AD•cosA．
同理，在△CBD中，BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC． …（3分）
因为∠A和∠C互补，所以AB²+AD²-2AB•AD•cosA=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=CB²+CD²+2CB•CD•cosA． …（5分）
即x²+（9-x）²-2 x（9-x）cosA=x²+（5-x）²+2 x（5-x）cosA．
解得cosA=(2)/(x)，即f（x）=(2)/(x)．
由余弦的定义，有(2)/(x)＜1，则x＞2，
故x∈（2，5）．　　   …（8分）
（2）四边形ABCD的面积S=(1)/(2)（AB•AD+CB•CD）sinA=(1)/(2)[x（5-x）+x（9-x）]√(1−cos2A)=√((x2−4)(x2−14x+49))．…（11分）
记g（x）=（x²-4）（x²-14x+49），x∈（2，5）．
由g′（x）=2x（x²-14x+49）+（x²-4）（2 x-14）=2（x-7）（2 x²-7 x-4）=0，
∴x=4或x=7或x=-(1)/(2)．
∵x∈（2，5），∴x=4．                    …（14分）
所以函数g（x）在区间（2，4）内单调递增，在区间（4，5）内单调递减．
因此g（x）的最大值为g（4）=12×9=108．
所以S的最大值为√(108)=6√(3)．
答：所求四边形ABCD面积的最大值为6√(3)m²．    …（16分）