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国际象棋比赛中,胜一局得1分,平一局得0.5分,负一局得0分,今有8名选手进行单循环比赛(每两人均赛一局),赛完后,发现各选手的得分均不相同,当按得分由大到小排列好名次手,第

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国际象棋比赛中,胜一局得1分,平一局得0.5分,负一局得0分,今有8名选手进行单循环比赛(每两人均赛一局),赛完后,发现各选手的得分均不相同,当按得分由大到小排列好名次手,第四名选手得4.5分,第二名的得分等于最后四名得分总和,问前三名选手各得多少分?说明理由.
▼优质解答
答案和解析
设第i个运动员为Ai,得分为aii=1,2,7,8),则a1>a2>…>a7>a8,由于8名选手每人参加7局比赛,胜的最多者得(7分),
即a1≤7,共赛
7×8
2
=28局,总积分为2(8分)
所以a1+a2+…+a7+a8=28①
因为每局得分为0,
1
2
,1三种,
所以a1\~a8只能在{0,
1
2
,1,1.5,2,2.5,6,6.5,7}中取值,又知a4=4.5,a2=a5+a6+a7+a8
若a3≥5.5,则a2≥6,a1≥6.5⇒a1+a2+a3≥6.5+6+5.5=18
由①,a4+a5+a6+a7+a8≤10,但a4=4.5,
所以a5+a6+a7+a8≤10-4.5=5.5这与a2≥6矛盾,
故a3<5.5
但a3>a4=4.5,
所以a3=5
这时a1+a2+a5+a6+a7+a8=28-5-4.5=18.5
也就是a1+2a2=18.5
若a2=5.5⇒a1=18.5-11=7.5>7≥a1,这不可能
若a2≥6.5⇒a1=18.5-2a1≤18.5-13>5.5<a2,矛盾.
所以,只能a2=6
此时a1=18.5-2×6=6.5
所以,前三名选手得分依次为6.5,6,5.
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