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如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为34+21034+210．
题目详情
如图，在Rt△ABC中，AB=BC=6，点E，F分别在边AB，BC上，AE=3，CF=1，P是斜边AC上的一个动点，则△PEF周长的最小值为| 34 |
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▼优质解答
答案和解析
如图，作点B关于AC的对称点D，连接AD，CD，则AC垂直平分BD，
又∵AB=BC，
∴BD平分AC，且AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形．
取AD的中点E′，连接E′F，与AC交于点P．
∵E，E′关于AC对称，
∴PE=PE′，
此时PF+PE=PF+PE′=E′F，值最小．
过点F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，∠E′GF=90°，FG=AB=6，GE′=3-1=2，
∴E′F=
=
=2
，
∵EF=
=
=
，
∴△PEF周长的最小值=EF+E'F=
+2
如图，作点B关于AC的对称点D，连接AD，CD，则AC垂直平分BD，又∵AB=BC，
∴BD平分AC，且AC=BD，
∴四边形ABCD是正方形．
取AD的中点E′，连接E′F，与AC交于点P．
∵E，E′关于AC对称，
∴PE=PE′，
此时PF+PE=PF+PE′=E′F，值最小．
过点F作FG⊥AD于G．
在Rt△E′FG中，∠E′GF=90°，FG=AB=6，GE′=3-1=2，
∴E′F=
| FG2+GE′2 |
| 62+22 |
| 10 |
∵EF=
| BE2+BF2 |
| 32+52 |
| 34 |
∴△PEF周长的最小值=EF+E'F=
| 34 |
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